Materi Aljabar

Aljabar | Bentuk Aljabar, Rumus Aljabar, dan Operasi Aljabar

 

A.   Pengertian Aljabar atau Algebra 

Aljabar adalah bagian dari ilmu matematika meliputi teori bilangan, geometri, dan analisis penyelesaiannya. Secara harfiah, a atau yang dibaca "al

". I m    n       o    M ḥ mm      n Mū ā   -K wā zmī      m   k n  m ng n   kon  p dan bentuk aljabar ditulis sekitar tahun 820, yang merupakan seorang matematikawan, astronomer, dan geograf. Ia dijuluki sebagai "The Father of Algebra". Dalam bahasa inggris, aljabar dikenal dengan istilah "algebra".

B.  Bentuk Aljabar

1.             Rumus persamaan

2.             Variabel (peubah)

3.             Koefisien (coefficient)

4.             Konstanta(Constant)

5.             Eksponen (Pangkat)

6.             Derajat

7.             Suku

C.   Operasi Aljabar

1.             Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

2.             Perkalian Aljabar

3.             Pembagian Aljabar

4.             Perpangkatan Aljabar

D. Bentuk Aljabar dan Rumus Aljabar Dasar

Bentuk aljabar adalah teknik yang digunakan untuk menyajikan suatu masalah matematika dengan simbol atau huruf sebagai peubah suatu objek dalam masalah tersebut. Terdapat 7 istilah umum yang perlu diketahui untuk memahami bentuk suatu aljabar dasar, yaitu:

1.       Rumus Persamaan 

Persamaan adalah suatu teknik matematika yang digunakan untuk menyamakan suatu permasalahan ke bentuk matematika dengan tanda persamaan atau sama dengan (=). Bentuk ini dapat berupa bentuk yang paling sederhana hingga kompleks. Persamaan dapat digunakan untuk membentuk suatu rumus matematika terhadap suatu masalah.

 

Masalah: 

Jumlah kelereng Xeon dan Yuni adalah 10 buah. Jika kelereng yuni sebanyak 3 buah, berapa jumlah kelereng Xeon?

Diketahui:

Ubah Kelereng Yuni menjadi variabel y Ubah

 kelereng Xeon menjadi variabel x

 

y = 3, maka nilai y adalah 3

x + y = 10 

Catatan: x + y = 10 merupakan persamaan matematika dari jumlah kelereng Xeon dan Yuni

Ditanya: 

berapakah nilai x?

Penyelesaian: 

x + y = 10

x = 10 - y  

Pada dasarnya untuk memindahkan suatu nilai ke ruas lain, sama artinya dengan menghilangkan nilai tersebut di ruas asal. Berikut penjelasannya untuk kasus di atas.

x + y = 10

     x + y - y = 10 - y  

        x = 10 - y

Sehingga, untuk mempercepat perhitungan dapat langsung menulis lawan nilai yang dipindahkan.

x + y = 10

x = 10 - y

 

2.   Variabel (Peubah)

Variabel adalah suatu simbol atau huruf yang digunakan untuk menggantikan suatu nilai yang bersifat tidak tetap (berubah-ubah tergantung persamaan yang memuatnya). Variabel dalam bahasa inggris disebut dengan "variable" (      ˈv (ə) ēə ə ) ,   n   g disebut "peubah" dalam bahasa Indonesia. Variabel dapat disimbolkan dengan huruf latin (a, A, b, B, c, D, dst).

Pada persamaan tersebut, terdapat 3 variabel yaitu x, y, dan z.

3.       Koefisien (Coefficient)

Koefisien adalah nilai yang digunakan untuk mengalikan suatu variabel. Koefisien dalam bahasa inggris disebut dengan "coefficient". Nilai koefisien = 1 dapat tidak ditulis.

 

3.1     Menghitung variabel dengan koefisien

1. Suatu persamaan 3x = 12, berapakah nilai variabel x?

2. 

3. Penyelesaian:

4. 

5. 3x = 12

6. 3 * x = 12 

7. x = 12/3 = 4

8. Catatan: perpindahan koefisien suatu ruas = membagi ruas lain dengan nilai  koefisien tersebut.

Jadi, variabel x = 4

3.2   Menghitung variabel dengan koefisien pada persamaan

 

Menghitung nilai koefisien menjadi lebih kompleks saat ia berada pada suatu persamaan

 

 

Untuk menyelesaikan solusi variabel x dapat diperoleh dengan memisahkan semua objek selain x keruas kanan, berikut:

 

 

 

Untuk menyelesaikan solusi variabel y dapat diperoleh dengan memisahkan semua objek selain y keruas kanan, berikut:

 

 

 

4.       Konstanta (Constant)

 Konstanta adalah suatu nilai yang bersifat tetap (constant) pada suatu bentuk aljabar. Konstanta dalam bahasa inggris disebut dengan "constant". Ciri-ciri yang paling umum suatu konstanta yaitu tidak berikatan dengan suatu variabel. Untuk rumus-rumus khusus, konstanta dapat disimbolkan dengan huruf (misalnya: a, b, lainnya) atau berupa simbol khusus.

 

4.1   Contoh konstanta pada persamaan umum

 

4.2   Contoh konstanta pada rumus khusus

 

Suatu konstanta pada rumus-rumus khusus disimbolkan dengan  nilai  tertentu, misalnya rumus keliling lingkaran:

 

5.       Eksponen (Pangkat)

Suatu variabel dalam suatu bentuk aljabar dapat memuat pangkat (eksponen). Operasi pangkat mempunyai prioritas kedua sejajar dengan operasi akar setelah tanda kurung dalam operasi hitung matematika.

 

Misalnya nilai x adalah 4, maka dapat dihitung nilai y sebagai berikut:

 

6.       Derajat

 

Derajat pada suatu bentuk aljabar adalah nilai pangkat tertinggi yang dimuat variabel bentuk aljabar, berikut contohnya:

Bentuk Aljabar	Derajat
3x	1
3x2 + 1	2
3x2 + 2x + 1	2
4x4 + 2y2 + 1	4
5x6 + y	6

 

7.       Suku

 

Suku pada bentuk aljabar adalah total elemen yang dimuat oleh suatu bentuk aljabar. Suku digunakan untuk mempermudah mengkomunikasikan bentuk aljabar sehingga mudah untuk dibahasakan, berikut contohnya:

Aljabar	s1	s2	s3	s4	suku
2x	2x	-	-	-	1
2x+1	2x	1	-	-	2
3x2+2x-1	3x2	2x	1	-	3
4x3+3x2+2x-1	4x3	3x2	2x	1	4
dan lainnya	...	...	...	...	...

 

Suku-suku bentuk aljabar dibedakan menjadi suku sejenis dan suku tak sejenis:

7.1   Suku Sejenis

Suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dengan pangkat yang sama.

a)   x, 2x, 3x, 4x, dan lain-lain.

b)     xy³, 2xy³, 8xy³, dan lain-lain.

7.2   Suku Tak Sejenis

Suku tidak sejenis adalah suku-suku yang tidak mempunyai variabel yang sama. 

a)   2x, 2y, 3z, 4w, dan lain-lain.

b)  8xy³, 3xy, dan lain-lain.

C. Operasi Aljabar 

Operasi aljabar pada umumnya hampir sama dengan operasi hitung bilangan bulat.

C1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar 

Operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku sejenis.

Contoh 1: Menyederhanakan aljabar 

 Penyelesaian:

# urutkan suku-suku yang sejenis

2x + 3y + 7x - 2y 

= 2x + 7x + 3y - 2y

= (2x + 7x) + (3y - 2y) 

= 9x - y

 

Jadi, bentuk sederhana dari 2x + 3y + 7x - 2y adalah 9x - y

C2. Operasi Perkalian Aljabar Contoh 1: Perkalian dengan konstanta

Perkalian dengan konstanta dilakukan dengan mengalikan nilai koefisien masing-masing variabel yang dioperasikan.

·         2y × 3 = 6y

·         (3y + x) × 4 

·      = (3y × 4) + (x × 4)

·      = 12y + 4x

·         3yz × 7 = 21yz

Contoh 2: Perkalian dengan variabel

perkalian dengan variabel dilakukan secara menyeluruh, baik koefisien maupun variabelnya.

 

·         y × y = y²

·         x² × x  

=        x2 + 1

=         x³

·         2yz × y = 2y²z

·         (2x + 1) y

=         (2x × y) + (1 × y)

=         2xy + y

C3. Operasi Pembagian Aljabar

    Untuk mempermudah operasi pembagian aljabar, dilakukan dengan cara mengubah ke bentuk pecahan. 

Contoh 1: Pembagian variabel dengan konstanta

  

Contoh 2: Pembagian variabel dengan variabel

Contoh 3: Pembagian variabel dengan variabel yang lebih kompleks

 C4. Operasi Perpangkatan Aljabar 

Contoh 1 :

Soal Aljabar Linear :

Operasi Vektor

Misalkan saja diberikan vektor u dan v yang ditunjukkan pada Persamaan

Jika kita menambahkan atau mengurangkan nilai elemen vektor dengan suatu skalar (konstanta yang hanya memiliki besaran), maka operasi penjumlahan/pengurangan akan dilakukan pada setiap elemen vektor.

 

Jika kita melakukan penjumlahan pada vektor u dan v, maka operasi akan terjadi pada masing-masing elemen dengan indeks yang sama.

Untuk lebih memahami operasi tersebut, berikut penulis berikan contoh penerapannya pada R:

 

 Bagaimana jika kita melakukan operasi dua vektor, dimaana salah satu vektor memiliki penjang yang berbeda?. Untuk memnjawab hal tersebut, perhatikan sintaks berikut:

 

 

Misalkan kita memiliki 2 buah matriks A dan B.

Jika salah satu matriks tersebut dijumlahkan atau dikurangkan dengan skalar.

Jika kedua matriks A dan B saling dijumlahkan atau dikurangkan. Perlu diperhatikan bahwa penjumlahan dua buah matriks hanya dapat dilakukan pada matriks dengan ukuran yang seragam.

 

Untuk lebih memahaminya, berikut disajikan contoh operasi penjumlahan pada matriks:

 

 

Sumber :

 

1.             https://www.advernesia.com/blog/matematika/aljabar/